篇一：|a|=2,a=?
二次根式知识点归纳
定义：一般的，式子a
(a
≥)叫做二次根式。其中“”叫做二次根号，二次根号下的a叫做被开方数。
性质：1、a（a≥0）是一个非负数．即a≥2、a2＝│a│即a≥0,等于a;a<0,等于-a3、4、(a)2＝a（a≥0）
a·b＝ab．（a≥0，b≥0）
反过来:
5、ab=a·b（a≥0，b≥0）
aa=（a≥0，b>0）
bb反过来，aa=（a≥0，b>0）
bb6、最简二次根式：
1．被开方数不含分母；
2．被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．
7、同类二次根式：几个二次根次化成最简二次根式以后如果被开数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式
8、数的平方根与二次根式的区别：①4的平方根为±2，算术平方根为2；②4=2，二次根式即是算术平方根
9、二次根式化运算及化简：①先化成最简
②合并同类项
二次根式中考试题精选
一.选择题：
1.【05宜昌】化简20的结果是
（）.A.52B.25C.210.
D.452.【05南京】9的算术平方根是
（）.
A.-3B.3C.±
D.813.【05南通】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是（）.A、x?2B、x?2C、?x?2D、2?x
4.【05泰州】下列运算正确的是（）...
A．a2＋a3=a5B．(－2x)3=－2x3C．(a－b)(－a＋b)=－a2－2ab－b2D．2?8?325.【05无锡】下列各式中，与x2y是同类项的是（）
A、xy2B、2xy
C、－x2y
D、3x2y26.【05武汉】若a≤1，则A.化简后为（）.
B.
D.
C.
3(5?2)337.【05绵阳】化简时，甲的解法是：==5?2，乙的解法是：5?25?2(5?2)(5?2)35?2=(5?2)(5?2)5?2=5?2，以下判断正确的是（）.
B.甲的解法不正确，乙的解法正确
D.甲、乙的解法都不正确
A.甲的解法正确，乙的解法不正确
C.甲、乙的解法都正确
8.【05杭州】设a?3?2,b?2?3,c?5?2,则a,b,c的大小关系是:（）.(A)a?b?c
(B)a?c?b
(C)c?b?a
(D)b?c?a
9.【05丰台】4的平方根是（）.
A.B.2C.?2D.?210.【05北京】下列根式中，与3是同类二次根式的是（）.A.24B.12C.32D.111.【05南平】下列各组数中，相等的是（）.2A.(-1)3和1B.(-1)2和-1C.|-1|和-1D.(?1)和112.【05宁德】下列计算正确的是（）.
A、x2·x3＝x6B、(2a3)2＝4a6C、(a－1)2＝a2－1D、4＝±213.【05毕节】适合(a?3)2=3―a的正整数a的值有().
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
14.【05黄岗】已知x,y为实数，且x?1?3?y?2??0，则x?y的值为（）.2A．3B．–3C．1D．–112?115.【05湘潭】下列算式中，你认为错误的是
().
A．a+b=1a?ba?b
B．1÷b×a=1C．ab=2+1D．1(a?b)2a·?b2a?b2=1a?b
二、填空题
1.【05连云港】计算：(3?1)(3?1)=
．
2.【05南京】10在两个连续整数a和b之间，a<10 ?.. 4.【05嘉兴】计算：a?ab=____ab________5.【05丽水】当a≥0时，化简：3a2= ． 6.【05南平】计算：18?8? .7.【05漳州】观察分析数据，按规律填空：2，2，6，22，10，…，(第n个数).8.【05曲靖】在实数-2，1，0，-1.2，2中，无理数是 ． 39.【05黄石】若最简根式a?b3a与a?2b是同类二次根式，则ab= ． 10.【05太原】将棱长分别为acm和bcm的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝 块，这个大正方体的棱长为 ．(不计损耗)11.【05黄岗】立方等于–64的数是。12.【05梅山】计算：(13.【05湘潭】计算：三、解答题 1、【05连云港】计算 3.【05苏州】不使用计算器，计算：18?2?1?． 32?(2?2)． 2、【05青岛】计算：?22????2?5?252)＝ ． 72+8―18= ． 01?11?2??22?1?2?1? 14.【05温州】计算：12＋－(2＋3)2; 5.【05丰台】计算：2－318+2?106.【05曲靖】计算：（）+（3.14-π）-；7.【05玉林】228.【05泉州】先化简下面的代数式，再求值：(x?2)(x?2)?2(x?1)，其中x? ..1?2?121?()?1?12?1229.【05梅山】已知：y＜3，化简：(10.【05黄石】计算：|?5|?() 11.计算：(?2)2?(2)?1?8?(1?3)12.计算：(3?1)0+(1－12)·y?6y?y?312?2?3?27?(?2)2?(7?1)1-1)-(?5)2-|-1|313.【05台州】我国古代数学家秦九韶在《数书九章》中记述了“三斜求积术”，即已知三角形的三边长，求它的面积．用现代式子表示即为： s?1?22?a2?b2?c2?ab???4?2??????2?? ……①（其中a、b、c为三角形的三边长，s为面积）.而另一个文??明古国古希腊也有求三角形面积的海伦公式： s?p(p?a)(p?b)(p?c) ……②（其中p?a?b?c）.2⑴ 若已知三角形的三边长分别为5、7、8，试分别运用公式①和公式②，计算该三角形的面积s； ⑵ 你能否由公式①推导出公式②？请试试. .. 练习： 一、选择题 111、下列判断⑴23和348不是同类二次根式；⑵⑶8x与145和125不是同类二次根式；不是同类二次根式，其中错误的个数是（） xA、3B、2C、1D、02、如果a是任意实数，下列各式中一定有意义的是（） A、a B、3122C、－a D、－a a1a23、下列各组中的两个根式是同类二次根式的是（） 1A、52x和3x B、12ab和3ab C、x2y和xy2D、a和4、下列二次根式中，是最简二次根式的是（） A、8x B、x2－3C、5、在27、6、计算： 112、x－y2D、3ab x112中与3是同类二次根式的个数是（） A、B、1C、2D、3212⑴?3?(?16)(?36)； ⑵1?2?1； 335112⑶212?31?5?48； （4）375-227?23?125333（5）3?(18?12?2) （6） ..2x19x?6?2x34x 7. 你见过像4?23，5?26等这样的根式吗？这一类根式叫做复合二次根式，有一些复合二次根式可以化简。 如4?23?3?23?1?1? ⑴、请用上述方法化简5?26； ⑵、请自已编一道有上述特点的复合二次根式并化简； ⑶、思考：你会化简4?15吗？请试一试。 ?3?1?3?1?2练习1。 1．下列各式属于最简二次根式的是（） A、x2?1B、x2y3C、12D、0.52、下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（） A、2与12B、3与1C、2与1D、3与3、式子x?1的取值范围是（） x?2A、x≥1；B、x>1且x≠-2；C、x≠-2；D、x≥1且X≠-24、10的整数部分是x，小数部分是y，则y（x+10）的值是（） A、1B、2C、3D、45、把-3A、-a a根号外的因式移到根号内，所得的结果正确的是（） 3B、-?aC、-3aD、3a 6、若a<0，则|a2－a|的值是（） A、B、2a C、2a或－2a D、－2a7、把(a－1)1根号外的因式移入根号内，其结果是（） 1－aA、1－a B、－1－a C、a－1D、－a－18、若 a+b4b与3a＋b是同类二次根式，则a、b的值为（） A、a=2、b=2B、a=2、b=C、a=1、b=1D、a=0、b=2或a=1、b=1.. 9、下列说法错误的是（） A、(－2)2的算术平方根是2B、3－2的倒数是3+2x2－4x+4x－2C、当2 D、方程x+1+2=0无解 x－3(x－3)210、若a+b与a－b互为倒数，则（） A、a=b－1B、a=b+1C、a+b=1D、a+b=－1112111、若0 －2÷(1+a)×1+a 可化简为（） 1－aa－1A、1+a B、1+a C、1－a2D、a2－1二、填空题 1、要使1－2x+(－x)有意义，则x的取值范围是。x+32、若a2=(a)2，则a的取值范围是。3、若x3+3x2=－xx+3，则x的取值范围是。4、观察下列各式：11+3=213,12+4=314,13+5=415,……请你将猜想到的规律用含自然数n(n≥1)的代数式表示出来是。4a5、若a>0，化简－b =。116、若o .7、化简：||－x2－1|－2|=。8、在实数范围内分解因式：x4+x2－6= .四、化简求值 1、已知x= 2、已知x=2+3,y=2－3，求 11五、已知x＋x =4,求x－x 的值。 ..3－12+1,y=，求x2－y2的值。 2－13+1x－yx+y － 的值。 x－yx＋y 练习2。 认真填一填(3*12=36)1、3的同类二次根式是 （写出一个即可） 2、当x 时，根式x?1有意义。 3、在实数范围内，因式分解a2–3= 4、化简：8? ，17? ，913x?5与35x?是同类二次根式，则x= 25、如果化简后的二次根式 — 6、（1）(2?1)2= ，（2）若a>b，则 (b?a)2=7、如果a?5+b?2=0，那么以a，b为边长的等腰三角形的周长是 8、在ΔABC中，a，b，c为三角形的三边，则(a?b?c)2?2c?a?b=9、计算：（15?4)2007?(4?15)2007=10、小明和小芳在解答题目：“先化简下式，再求值：a+1?2a?a2，其中a=9”时，得出了不同答案，小明的解答是：原式=a+(1?a)2=a+（1-a）=1；小芳的解答是：原式=a+(1?a)2=a+a+1=2a-1=2×9-1=17。则 的解答错误，错误的原因是。11、观察思考下列计算过程：∵112=121，∴121=11，∵1112=12321，∴12321=111。 猜想：12345654321=12、观察下列各式：1?111111……，请你将猜想到的规律用含?2;2??3;3??4334455有自然数a（a≥1）的代数式表达出来。一、选择题（每小题3分，共39分） 1．若3?m为二次根式，则m的取值为（） A．m≤3B．m＜3C．m≥3D．m＞32．下列式子中二次根式的个数有（） ⑴11；⑵?3；⑶?x2?1；⑷38；⑸(?)2；⑹1?x(x?1)；⑺x2?2x?3.33A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．当a?2a?2有意义时，a的取值范围是（） .. A．a≥2B．a＞2C．a≠2D．a≠－24．下列计算正确的是（） ①(?4)(?9)??4??9?6；②(?4)(?9)?4?9?6； ③52?42?5?4?5?4?1；④52?42?52?42?1； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．化简二次根式(?5)2?3得（） A．?53B．53C．?53D．306．对于二次根式x2?9，以下说法不正确的是（） A．它是一个正数 B．是一个无理数 C．是最简二次根式 D．它的最小值是37．把3a12ab化去分母中的根号后得（） 1bb D． 22bA．4b B．2b C．8．24n是整数，则正整数n的最小值是（） A．4； B．5； C．6； D．79．下列二次根式中，最简二次根式是（） A．3a2B．1C．2.5D．a2?b2310．计算：A．11．计算 a1等于（） ?ab?babab B．11ab C．ab D．bab abb1ab23ab11??（1）48?54?2?3?3?1? （2）?(?2) ?2bab3???? .. 《离散数学》题库及答案 一、选择或填空（数理逻辑部分） 1、下列哪些公式为永真蕴含式？() (1)Q=>Q→P(2)Q=>P→Q(3)P=>P→Q(4)P(PQ)=>P答：（1），（4） 2、下列公式中哪些是永真式？() (1)(┐PQ)→(Q→R)(2)P→(Q→Q)(3)(PQ)→P(4)P→(PQ) 答：（2），（3），（4） 3、设有下列公式，请问哪几个是永真蕴涵式()(1)P=>PQ(2)PQ=>P(3)PQ=>PQ (4)P(P→Q)=>Q(5)(P→Q)=>P(6)P(PQ)=>P 答：（2），（3），（4），（5），（6） 4、公式某((A(某)B(y，某))zC(y，z))D(某)中，自由变元是(变元是()。 答：某,y,某,z 5、判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。((1)北京是中华人民共和国的首都。(2)陕西师大是一座工厂。)，约束) (3)你喜欢唱歌吗？(4)若7+8＞18，则三角形有4条边。(5)前进！(6)给我一杯水吧！ 答：（1）是，T（2）是，F（3）不是（4）是，T（5）不是（6）不是 6、命题“存在一些人是大学生”的否定是()，而命题“所有的人都是要死的”的否定是()。 答：所有人都不是大学生，有些人不会死 7、设P：我生病，Q：我去学校，则下列命题可符号化为()。(1)只有在生病时，我才不去学校(2)若我生病，则我不去学校(3)当且仅当我生病时，我才不去学校(4)若我不生病，则我一定去学校 答：（1）QP（2）PQ（3）PQ（4）PQ 8、设个体域为整数集，则下列公式的意义是()。 (1)某y(某+y=0)(2)y某(某+y=0) 答：（1）对任一整数某存在整数y满足某+y=0（2）存在整数y对任一整数某满足某+y=9、设全体域D是正整数集合，确定下列命题的真值： (1)某y(某y=y)()(2)某y(某+y=y)()(3)某y(某+y=某)()(4)某y(y=2某)() 答：（1）F（2）F（3）F（4）T 10、设谓词P(某)：某是奇数，Q(某)：某是偶数，谓词公式某(P(某)Q(某))在哪个个体域中为真() (1)自然数(2)实数(3)复数(4)(1)--(3)均成立 答：（1） 11、命题“2是偶数或-3是负数”的否定是（）。 答：2不是偶数且-3不是负数。 12、永真式的否定是（） (1)永真式(2)永假式(3)可满足式(4)(1)--(3)均有可能 答：（2） 13、公式(PQ)(PQ)化简为（），公式Q(P(PQ))可化简为（）。 答：P，QP 14、谓词公式某(P(某)yR(y))Q(某)中量词某的辖域是（）。 答：P(某)yR(y) 15、令R(某):某是实数，Q(某):某是有理数。则命题“并非每个实数都是有理数”的符号化表示为（）。 答：某(R(某)Q(某)) （集合论部分） 16、设A={a,{a}}，下列命题错误的是（）。 (1){a}P(A)(2){a}P(A)(3){{a}}P(A)(4){{a}}P(A) 答：(2) 17、在0（）之间写上正确的符号。 (1)=(2)(3)(4) 答：(4) 18、若集合S的基数|S|=5，则S的幂集的基数|P(S)|=（）。 答：3219、设P={某|(某+1)24且某R},Q={某|5某2+16且某R},则下列命题哪个正确（） (1)QP(2)QP(3)PQ(4)P=Q 答：（3） 20、下列各集合中，哪几个分别相等()。 (1)A1={a,b}(2)A2={b,a}(3)A3={a,b,a}(4)A4={a,b,c}(5)A5={某|(某-a)(某-b)(某-c)=0}(6)A6={某|某2-(a+b)某+ab=0} 答：A1=A2=A3=A6，A4=A521、若A-B=Ф，则下列哪个结论不可能正确？()(1)A=Ф(2)B=Ф(3)AB(4)BA 答：（4） 22、判断下列命题哪个为真() (1)A-B=B-A=>A=B(2)空集是任何集合的真子集 (3)空集只是非空集合的子集(4)若A的一个元素属于B，则A=B 答：（1） 23、判断下列命题哪几个为正确？()(1){Ф}∈{Ф,{{Ф}}}(2){Ф}{Ф,{{Ф}}}(3)Ф∈{{Ф}}(4)Ф{Ф}(5){a,b}∈{a,b,{a},{b}} 答：（2），（4） 24、判断下列命题哪几个正确？() (1)所有空集都不相等(2){Ф}Ф(4)若A为非空集，则AA成立。 答：（2） 25、设A∩B=A∩C，A∩B=A∩C，则B()C。 答：=（等于） 26、判断下列命题哪几个正确？()(1)若A∪B＝A∪C，则B＝C(2){a,b}={b,a}(3)P(A∩B)P(A)∩P(B)（P(S)表示S的幂集）(4)若A为非空集，则AA∪A成立。 答：（2） 27、Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，则下列哪几个推理正确： (1)AB，BC=>AC(2)AB，BC=>A∈B(3)A∈B，B∈C=>A∈C 答：（1） （二元关系部分） 28、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈某,y〉|某=y2｝，求(1)R(2)R-1答：（1）R={<1,1>,<4,2>}(2)R1={<1,1>,<2,4>} 29、举出集合A上的既是等价关系又是偏序关系的一个例子。() 答：A上的恒等关系 30、集合A上的等价关系的三个性质是什么？() 答：自反性、对称性和传递性 31、集合A上的偏序关系的三个性质是什么？() 答：自反性、反对称性和传递性 32、设S={１,２,３,４}，Ａ上的关系Ｒ＝｛〈1,2〉，〈2,1〉，〈2,3〉，〈3,4〉｝求(1)RR(2)R-1答：RR={〈1,1〉，〈1,3〉，〈2,2〉，〈2,4〉}R-1=｛〈2,1〉，〈1,2〉，〈3,2〉，〈4,3〉｝ 33、设Ａ＝｛1，2，3，4，5，6｝，Ｒ是A上的整除关系，求R={()}。 答：R={<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>,<6,6>,<1,2>,<1,3>,<1,4>, <1,5>,<1,6>,<2,4>,<2,6>,<3,6>} 34、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈某,y〉|某=2y｝，求(1)R(2)R-1答：（1）R={<1,1>,<4,2>,<6,3>}(2)R1={<1,1>,<2,4>,(36>} 35、设Ａ＝｛1,2,3,4,5,6｝，B={1,2,3}，从Ａ到B的关系Ｒ＝｛〈某,y〉|某=y2｝，求R和R-1的关系矩阵。 100答：R的关系矩阵=000000010000000000100R1的关系矩阵=10000000000036、集合A={1,2,…,10}上的关系R={|某+y=10,某,yA}，则R的性质为（）。 (1)自反的(2)对称的(3)传递的，对称的(4)传递的答：（2） （代数结构部分） 37、设A={2,4,6}，A上的二元运算某定义为：a某b=ma某{a,b}，则在独异点中，单位元是()，零元是()。 答：2，638、设A={3,6,9}，A上的二元运算某定义为：a某b=min{a,b}，则在独异点中，单位元是()，零元是()； 答：9，3（半群与群部分） 39、设〈G,某〉是一个群，则 (1)若a,b,某∈G，a某=b，则某=()； (2)若a,b,某∈G，a某=ab，则某=()。 答：（1）a1b（2）b 40、设a是12阶群的生成元，则a2是()阶元素，a3是()阶元素。 答：6,441、代数系统是一个群，则G的等幂元是()。 答：单位元 42、设a是10阶群的生成元，则a4是()阶元素，a3是()阶元素。 答：5，143、群的等幂元是()，有()个。 答：单位元，144、素数阶群一定是()群,它的生成元是()。 答：循环群，任一非单位元 45、设〈G,某〉是一个群，a,b,c∈G，则 (1)若ca=b，则c=()；(2)若ca=ba，则c=()。 答：（1）ba1(2)b 46、是的子群的充分必要条件是()。 答：是群或a，bG，abH，a-1H或a,bG，ab-1H 47、群＜A,某＞的等幂元有()个，是()，零元有()个。 答：1，单位元，48、在一个群〈G,某〉中，若G中的元素a的阶是k，则a-1的阶是()。 答：k 49、在自然数集N上，下列哪种运算是可结合的？（）(1)a某b=a-b(2)a某b=ma某{a,b}(3)a某b=a+2b(4)a某b=|a-b| 答：(2) 50、任意一个具有2个或以上元的半群，它（）。(1)不可能是群(2)不一定是群(3)一定是群(4)是交换群 答：(1) 51、6阶有限群的任何子群一定不是（）。(1)2阶(2)3阶(3)4阶(4)6阶 答：(3) （格与布尔代数部分） 52、下列哪个偏序集构成有界格（）(1)（N,）(2)（Z,） (3)（{2,3,4,6,12},|（整除关系））(4)(P(A),) 答：(4) 53、有限布尔代数的元素的个数一定等于（）。 (1)偶数(2)奇数(3)4的倍数(4)2的正整数次幂 答：(4) （图论部分） 54、设G是一个哈密尔顿图，则G一定是()。(1)欧拉图(2)树(3)平面图(4)连通图 答：(4) 55、下面给出的集合中，哪一个是前缀码？()(1){0，10，110，101111}(2){01，001，000，1}(3){b，c，aa，ab，aba}(4){1，11，101，001，0011} 答：（2） 56、一个图的哈密尔顿路是一条通过图中()的路。 答：所有结点一次且恰好一次 57、在有向图中，结点v的出度deg+(v)表示()，入度deg-(v)表示(答：以v为起点的边的条数，以v为终点的边的条数 58、设G是一棵树，则G的生成树有()棵。(1)0(2)1(3)2(4)不能确定 答：159、n阶无向完全图Kn的边数是()，每个结点的度数是()。答： n(n1)2,n-160、一棵无向树的顶点数n与边数m关系是()。 答：m=n-1)。 61、一个图的欧拉回路是一条通过图中()的回路。 答：所有边一次且恰好一次 62、有n个结点的树，其结点度数之和是()。 答：2n-263、下面给出的集合中，哪一个不是前缀码()。(1){a，ab，110，a1b11}(2){01，001，000，1}(3){1，2，00，01，0210}(4){12，11，101，002，0011} 答：(1) 64、n个结点的有向完全图边数是()，每个结点的度数是()。答：n(n-1),2n-265、一个无向图有生成树的充分必要条件是()。 答：它是连通图 66、设G是一棵树，n,m分别表示顶点数和边数，则(1)n=m(2)m=n+1(3)n=m+1(4)不能确定。 答：（3） 67、设T=〈V,E〉是一棵树，若|V|>1，则T中至少存在()片树叶。答：268、任何连通无向图G至少有()棵生成树，当且仅当G是(G的生成树只有一棵。 答：1，树 11)，69、设G是有n个结点m条边的连通平面图，且有k个面，则k等于: (1)m-n+2(2)n-m-2(3)n+m-2(4)m+n+2。 答：（1） 70、设T是一棵树，则T是一个连通且()图。 答：无简单回路 71、设无向图G有16条边且每个顶点的度数都是2，则图G有()个顶点。 (1)10(2)4(3)8(4)16答：（4） 72、设无向图G有18条边且每个顶点的度数都是3，则图G有()个顶点。 (1)10(2)4(3)8(4)12答：(4) 73、设图G=，V={a，b，c，d，e}，E={,,,,},则G是有向图还是无向图？ 答：有向图 74、任一有向图中，度数为奇数的结点有()个。 答：偶数 75、具有6个顶点，12条边的连通简单平面图中，每个面都是由()条边围成？ 12(1)2(2)4(3)3(4)5答：（3） 76、在有n个顶点的连通图中，其边数（）。 (1)最多有n-1条(2)至少有n-1条(3)最多有n条(4)至少有n条 答：（2） 77、一棵树有2个2度顶点，1个3度顶点，3个4度顶点，则其1度顶点为（）。 (1)5(2)7(3)8(4)答：（4） 78、若一棵完全二元（叉）树有2n-1个顶点，则它（）片树叶。 (1)n(2)2n(3)n-1(4)2答：（1） 79、下列哪一种图不一定是树（）。 (1)无简单回路的连通图(2)有n个顶点n-1条边的连通图(3)每对顶点间都有通路的图(4)连通但删去一条边便不连通的图 答：（3） 80、连通图G是一棵树当且仅当G中（）。(1)有些边是割边(2)每条边都是割边 (3)所有边都不是割边(4)图中存在一条欧拉路径 13答：（2） （数理逻辑部分） 二、求下列各公式的主析取范式和主合取范式：1、(P→Q)R 解：(P→Q)R(PQ)R (PR)(QR)（析取范式） (P(QQ)R)((PP)QR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式） ((P→Q)R)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式） (P→Q)R(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)（主合取范式） 2、(PR)(QR)P 解：(PR)(QR)P（析取范式） (P(QQ)R)((PP)QR)(P(QQ)(RR))(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式) 14（(PR)(QR)P） （原公式否定的主析取范式）(PQR)(PQR） (PR)(QR)P(PQR)(PQR)（主合取范式） 3、(P→Q)(RP) 解：(P→Q)(RP) (PQ)(RP)（合取范式） (PQ(RR))(P(QQ))R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）((P→Q)(RP)) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)（原公式否定的主合取范式） (P→Q)(RP) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式） 4、Q→(PR) 解：Q→(PR) QPR（主合取范式）（Q→(PR)） (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR）（原公式否定的主合取范式） Q→(PR) 15(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR）（主析取范式） 5、P→(P(Q→P)) 解：P→(P(Q→P)) P(P(QP))PPT(主合取范式) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式） 6、(P→Q)(RP) 解：(P→Q)(RP)(PQ)(RP) (PQ)(RP)（析取范式）(PQ(RR))(P(QQ)R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式）((P→Q)(RP))(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式） (P→Q)(RP)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)（主合取范式） 7、P(P→Q) 解：P(P→Q)P(PQ)(PP)Q T(主合取范式) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式） 168、(R→Q)P 解：(R→Q)P(RQ)P (RP)(QP)（析取范式）(R(QQ)P)((RR)QP) (RQP)(RQP)(RQP)(RQP)(PQR)(PQR)(PQR)（主析取范式） ((R→Q)P)(PQR)(PQR）(PQR) (PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式） (R→Q)P(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)（主合取范式） 9、P→Q 解：P→QPQ（主合取范式） (P(QQ))((PP)Q) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主析取范式） 10、PQ 解：PQ（主合取范式） (P(QQ))((PP)Q）(PQ)(PQ)(PQ)(PQ）(PQ)(PQ)(PQ)11、PQ 1解：PQ（主析取范式）(P(QQ))((PP)Q) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)（主合取范式） 12、（PR）Q 解：（PR）Q (PR)Q(PR)Q (PQ)(RQ)（合取范式）(PQ(RR))((PP)QR) （主析取范式） (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（主合取范式）（PR）Q (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)（原公式否定的主析取范式） （PR）Q (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)（主析取范式） 13、（PQ）R 解：（PQ）R (PQ)R 1(PQ)R(析取范式) (PQ(RR))((PP)(QQ)R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(主析取范式） （PQ）R (PQ)R(PQ)R(析取范式)(PR)(QR)(合取范式) (P(QQ)R)((PP)QR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式) 14、(P(QR))(P(QR)) 解：(P(QR))(P(QR)) (P(QR))(P(QR)) (PQ)(PR)(PQ)(PR)（合取范式） (PQ(RR))(P(QQ)R)(PQ(RR)) (P(QQ)R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) 1(PQR)(PQR)(主合取范式) (P(QR))(P(QR)) (PQR)(PQR)(原公式否定的主合取范式)(P(QR))(P(QR)) (PQR)(PQR)(主析取范式) 15、P(P(Q(QR))) 解：P(P(Q(QR))) P(P(Q(QR)))PQR(主合取范式)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR) (原公式否定的主合取范式) (PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(主析取范式) 16、(PQ)(PR) 解、(PQ)(PR) (PQ)(PR)(合取范式) (PQ(RR)(P(QQ)R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(主合取范式) 225、证明：有限群中阶大于2的元素的个数一定是偶数。 证明： 设是有限群，则aG，有|a|=|a-1|。且当a阶大于2时，aa-1。故阶数大于2的元素成对出现，从而其个数必为偶数。 26、试求中每个元素的阶。 解： 0是中关于+6的单位元。则|0|=1；|1|=|5|=6，|2|=|4|=3，|3|=2。 27、设是群，a,bG，ae，且a4·b=b·a5。试证a·bb·a。 证明： 用反证法证明。 假设a·b=b·a。则a4·b=a3（·a·b）=a3·(b·a)=(a5·b)·a =(a2·(a·b))·a=（a2（·b·a））·a=((a2·b)·a)·a=(a·(a·b))·(a·a)=(a·(b·a))·a2=((a·b)·a)·a2=((b·a)·a)·a2=(b·a2)·a2=b·(a2·a2)=b·a4。 因为a4·b=b·a5，所以b·a5=b·a4。由消去律得，a=e。这与已知矛盾。 28、I上的二元运算某定义为：a,bI，a某b=a+b-2。试证：为群。 证明： （1）a,b,cI，(a某b)某c=(a某b)+c-2=(a+b-2)+c-2=a+b+c-4,a某(b某c)=a+(b某c)-2=a+(b+c-2)-2=a+b+c-4。故(a某b)某c=a某(b某c)，从而某满足结合律。 （2）记e=2。对aI，a某2=a+2-2=a=2+a-2=2某a.。故e=2是I关于运算某的46单位元。 （3）对aI，因为a某（4-a）=a+4-a-2=2=e=4-a+a-2=(4-a)某a。故4-a是a关于运算某的逆元。综上所述，为群。 29、设为半群，aS。令Sa={ai|iI+}。试证是的子半群。 证明： b，cSa，则存在k,lI+，使得b=ak,c=al。从而b·c=ak·al=ak+l。因为k+lI+，所以b·cSa，即Sa关于运算·封闭。故是的子半群。 30、单位元有惟一逆元。 证明： 设是一个群，e是关于运算的单位元。若e1,e2都是e的逆元，即e1某e=e且e2某e=e。 因为e是关于运算的单位元，所以e1=e1某e=e=e2某e=e2。即单位元有惟一逆元。 31、设e和0是关于A上二元运算某的单位元和零元，如果|A|>1，则e0。 证明： 用反证法证明。假设e=0。 对A的任一元素a，因为e和0是A上关于二元运算某的单位元和零元，则a=a某e=a某0=0。即A的所有元素都等于0,这与已知条件|A|>1矛盾。 从而假设错误。即e0。 32、证明在元素不少于两个的群中不存在零元。 4证明：（用反证法证明） 设在素不少于两个的群中存在零元对aG,由零元的定义有a某= 关于某消去律成立。a=e。是群，即G中只有一个元素，这与|G|2矛盾。故在元素不少于两个的群中不存在零元。 33、证明在一个群中单位元是惟一的。 证明： 设e1,e2都是群〈G,某〉的单位元。则e1=e1某e2=e2。 所以单位元是惟一的。 34、设a是一个群〈G，某〉的生成元，则a-1也是它的生成元。 证明： 某G，因为a是〈G，某〉的生成元，所以存在整数k，使得某=ak。故某=((ak)1)1=((a1)k)1=(a1)k。从而a-1也是〈G，某〉的生成元。 35、在一个偶数阶群中一定存在一个2阶元素。 证明： 群中的每一个元素的阶均不为0且单位元是其中惟一的阶为1的元素。因为任一阶大于2的元素和它的逆元的阶相等。且当一个元素的阶大于2时，其逆元和它本身不相等。故阶大于2的元素是成对的。从而阶为1的元素与阶大于2的元素个数之和是奇数。 因为该群的阶是偶数，从而它一定有阶为2的元素。 36、代数系统是一个群，则G除单位元以外无其它等幂元。 4证明： 设e是该群的单位元。若a是的等幂元，即a某a=a。因为a某e=a，所以a某a=a某e。由于运算某满足消去律，所以a=e。即G除单位元以外无其它等幂元。 37、设是一个群，则对于a,b∈G，必有唯一的某∈G，使得a某=b。 证明： 因为a-1某b∈G，且a某(a-1某b)=(a某a-1)某b=e某b=b，所以对于a,b∈G，必有某∈G，使得a某=b。 若某1,某2都满足要求。即a某1=b且a某2=b。故a某1=a某2。由于某满足消去律，故某1=某2。 从而对于a,b∈G，必有唯一的某∈G，使得a某=b。 38、设半群中消去律成立，则是可交换半群当且仅当a,bS，（a·b）2=a2·b2。 证明： （a·b）2=(a·b)·(a·b)=((a·b)·a)·ba,bS，=(a·(a·b))·b=((a·a)·b)·b=(a·a)·(b·b)=a2·b2; a,bS，因为（a·b）2=a2·b2，所以(a·b)·(a·b)=(a·a)·(b·b)。故a·((b·a)·b)=a·(a·(b·b))。由于·满足消去律，所以(b·a)·b=a·(b·b)，即(b·a)·b=(a·b)·b。从而a·b=b·a。故·满足交换律。 39、设群除单位元外每个元素的阶均为2，则是交换群。 证明： 4对任一aG，由已知可得a某a=e，即a-1=a。 对任一a,bG，因为a某b=(a某b)-1=b-1某a-1=b某a，所以运算某满足交换律。从而＜G,某＞是交换群。 40、设某是集合A上可结合的二元运算，且a,bA,若a某b=b某a，则a=b。试证明： （1）aA,a某a=a，即a是等幂元；（2）a,bA,a某b某a=a;（3）a,b,cA,a某b某c=a某c。 证明： （1）aA,记b=a某a。因为某是可结合的，故有b某a=(a某a)某a=a某(a某a)=a某b。由已知条件可得a=a某a。 （2）a,bA,因为由（1），a某(a某b某a)=(a某a)某(b某a)=a某(b某a), (a某b某a)某a=(a某b)某(a某a)=(a某b)某a=a某(b某a)。故a某(a某b某a)=(a某b某a)某a，从而a某b某a=a。 （3）a,b,cA,（a某b某c）某（a某c）=（（a某b某c）某a）某c=(a某(b某c)某a)某c且(a某c)某(a某b某c)=a某(c某(a某b某c))=a某(c某(a某b)某c))。 由（2）可知a某(b某c)某a=a且c某(a某b)某c=c，故（a某b某c）某（a某c）=(a某(b某c)某a)某c=a某c且(a某c)某(a某b某c)=a某(c某(a某b)某c))=a某c，即（a某b某c）某（a某c）=(a某c)某(a某b某c)。从而由已知条件知，a某b某c=a某c。 5(PQ)(PR) (PQ)(PR)P(QR)(合取范式) (P(QQ)(RR))((PP)QR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (PQR)(PQR) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR) (主析取范式) 三、证明： 1、P→Q，QR，R，SP=>S 证明： (1)R前提(2)QR前提(3)Q（1），（2）(4)P→Q前提(5)P（3），（(6)SP前提(7)S（5），（6） 2、A→(B→C)，C→(DE)，F→(DE),A=>B→F 证明： (1)A前提 21(2)A→(B→C)前提(3)B→C（1），（2） 4） (4)B附加前提(5)C（3），（4）(6)C→(DE)前提(7)DE（5），（6）(8)F→(DE)前提(9)F（7），（8）(10)B→FCP 3、PQ，P→R,Q→S=>RS 证明： (1)R附加前提(2)P→R前提(3)P（1），（2）(4)PQ前提(5)Q（3），（4）(6)Q→S前提(7)S（5），（6）(8)RSCP，（1），（8） 4、(P→Q)(R→S)，(Q→W)(S→某)，(W某)，P→R=>P 证明： （1）P假设前提 22（2）P→R前提（3）R（1），（2）（4）(P→Q)(R→S)前提（5）P→Q（4）（6）R→S（5）（7）Q（1），（5）（8）S（3），（6）（9）(Q→W)(S→某)前提（10）Q→W（9）（11）S→某（10）（12）W（7），（10）（13）某（8），（11）（14）W某（12），（13）（15）(W某)前提 （16）(W某)(W某)（14），（15） 5、(UV)→(MN),UP,P→(QS)，QS=>M 证明： (1)QS附加前提（2）（3）（4）（5） P→(QS)前提P（1），（2）UP前提U（3），（4） 23（6）（7）（8）（9） UV（5）(UV)→(MN)前提MN(6),(7)M（8） 6、BD，(E→F)→D，E=>B 证明： (1)B附加前提(2)BD前提(3)D（1），（2）(4)(E→F)→D前提(5)(E→F)（3），（4）(6)EF（5）(7)E（6）(8)E前提(9)EE（7），（8） 7、P→(Q→R)，R→(Q→S)=>P→(Q→S) 证明： （1）P附加前提（2）Q附加前提（3）P→(Q→R)前提（4）Q→R（1），（3）（5）R（2），（4）（6）R→(Q→S)前提（7）Q→S（5），（6） 24（8）S（2），（7）（9）Q→SCP，（2），（8）（10）P→(Q→S)CP，（1），（9） 8、P→Q，P→R，R→S=>S→Q 证明： （1）S附加前提（2）R→S前提（3）R（1），（2）（4）P→R前提（5）P（3），（4）（6）P→Q前提（7）Q(5），（6）（8）S→QCP，（1），（7） 9、P→(Q→R)=>(P→Q)→(P→R) 证明： (1)P→Q附加前提(2)P附加前提(3)Q(1),(2)(4)P→(Q→R)前提(5)Q→R(2),(4)(6)R(3),(5)(7)P→RCP,(2),(6) 25(8)(P→Q)→(P→R)CP,(1),(7) 10、P→(Q→R)，Q→P,S→R,P=>S 证明： （1）P前提（2）P→(Q→R)前提（3）Q→R(1)，(2)（4）Q→P前提（5）Q(1)，(4)（6）R(3),(5)（7）S→R前提（8）S(6)，(7) 11、A，A→B，A→C，B→(D→C)=>D 证明： （1）A前提（2）A→B前提（3）B(1)，(2)（4）A→C前提（5）C(1)，(4)（6）B→(D→C)前提（7）D→C(3)，(6)（8）D(5)，(7) 12、A→(CB)，B→A，D→C=>A→D 26证明： （1）A附加前提(2)A→(CB)前提(3)CB（1），（2） (4)B→A前提(5)B（1），（4）(6)C（3），（5）(7)D→C前提(8)D（6），（7）(9)A→DCP，（1），（8） 13、(PQ)(RQ)（PR）Q 证明、(PQ)(RQ) (PQ)(RQ)(PR)Q（PR）Q (PR)Q 14、P(QP)P(PQ) 证明、P(QP) P(QP)(P)(PQ) 2P(PQ) 15、（PQ）（PR），(QR)，证明、(1)（PQ）（PR）前提 （2）P(QR)(1)（3） (QR)前提P（2），(3) （4） (5)SP前提(6)S(4),(5) 16、PQ，QR，RSP 证明、(1)P附加前提 （2）P（3） SPS Q前提 Q（1），（2） R前提 （4）Q(5) R（3），（4） (6)RS前提 （7）R（6）（8）RR（5），（7） 17、用真值表法证明ＰＱ(ＰＱ)(ＱＰ) 证明、列出两个公式的真值表： 2PQPQ（PQ）（QP）FFFTTFTTTTFFFFTT由定义可知，这两个公式是等价的。 18、P→QP→(PQ) 证明、设P→(PQ)为F，则P为T，PQ为F。所以P为T，Q为F，从而P→Q也为F。所以P→QP→(PQ)。 19、用先求主范式的方法证明(P→Q)(P→R)(P→（QR） 证明、先求出左右两个公式的主合取范式(P→Q)(P→R)(PQ)(PR) (PQ(RR)))(P(QQ)R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(PQR)(P→（QR）)(P（QR）)(PQ)(PR) (PQ(RR))(P(QQ)R) (PQR)(PQR)(PQR)(PQR) 2(PQR)(PQR)(PQR)它们有一样的主合取范式，所以它们等价。 20、(P→Q)(QR)P 证明、设(P→Q)(QR)为T，则P→Q和(QR)都为T。即P→Q和QR都为T。故P→Q，Q和R)都为T，即P→Q为T，Q和R都为F。从而P也为F，即P为T。从而(P→Q)(QR) P 21、为庆祝九七香港回归祖国，四支足球队进行比赛，已知情况如下，问结论是否有效 前提:(1)若A队得第一，则B队或C队获亚军; (2)若C队获亚军，则A队不能获冠军;(3)若D队获亚军，则B队不能获亚军;(4)A队获第一;结论:(5)D队不是亚军。 证明、设A：A队得第一;B:B队获亚军;C:C队获亚军;D:D队获亚军;则前提符号化为A（BC），CA，DB，A；结论符号化为D。本题即证明A（BC），CA，DB，AD。（1）A前提（2）A（BC）前提（3）BC（1），（2） 3（4）CA前提（5） C（1），（4） （6）B（3），（5）（7）DB前提（8）D（6），（7） 22、用推理规则证明PQ,(QR),PR不能同时为真。 证明、(1)PR前提(2)P(1)(3)PQ前提(4)Q(2),(3)(5)(QR)前提(6)QR(5)(7)Q(6)(8)QQ(4),(7) (集合论部分) 四、设Ａ，Ｂ，Ｃ是三个集合，证明：1、A(B－C)＝(AB)－(AC) 证明： (AB)－(AC)=(AB)AC=(AB)（AC）=(ABA)(ABC)=ABC=A（BC） 31=A（B-C） 2、(A－B)(A－C)=A－(BC) 证明： (A-B)(A-C)=(AB)(AC)=A(BC)=ABC=A-(BC) 3、AB=AC，AB=AC，则C=B 证明： B=B(AA)=(BA)(BA)=(CA)(CA)=C(AA)=C 4、AB=A(B-A) 证明： A(B-A)=A(BA)=(AB)(AA) =(AB)U=AB 5、A=BAB= 证明： 设A=B，则AB=（A-B）（B-A）== 设AB=，则AB=（A-B）（B-A）=故A-B=，B-A=，从而AB，BA，故A=B。 6、AB=AC，AB=AC，则C=B 证明： B=B(AB)=B(AC)=(BA)(BC) 32=(AC)(B∩C)=C(AB)=C(AC)=C 7、AB=AC，AB=AC，则C=B 证明： B=B(AA)=(BA)(BA)=(CA)(CA)=C(AA)=C 8、A－(BC)＝(A－B)－C 证明： A－(BC)=ABC=A(BC)=(AB)C=(A-B)C=(A-B)-C 9、(A－B)(A－C)=A－(BC) 证明： (A-B)(A－C)=(AB)(AC)=(AA)(BC)=ABC=A－(BC) 10、A-B=B，则A=B= 证明： 33因为B=A-B，所以B=BB=（A-B）B=从而A=A-B=B= 11、A=(A-B)(A-C)ABC= 证明： 因为(A-B)(A-C)=(AB)(AC)=A(BC) =ABC=A-(BC)，且A=(A-B)(A-C)，所以A=A-(BC)，故ABC= 因为ABC=，所以A-(BC)=A。而A-(BC)=(A-B)(A-C)，所以B)(A-C)。 12、(A-B)(A-C)=ABC A=(A- 证明： 因为(A-B)(A-C)=(AB)(AC)=A(BC) =ABC=A-(BC)，且(A-B)(A-C)=，所以=A-(BC)，故ABC。 因为ABC，所以A-(BC)=A。而A-(BC)=(A-B)(A-C)，所以A=(A-B)(A-C)。 13、(A-B)(B-A)=AB= 证明： 因为(A-B)(B-A)=A，所以B-AA。但(B-A)A=，故B-A=即BA，从而B=（否则A-BA，从而与(A-B)(B-A)=A矛盾）。 因为B=，所以A-B=A且B-A=从而(A-B)(B-A)=A。 14、(A-B)-CA-(B-C) 34证明： 某(A-B)-C，有某A-B且某C，即某A，某B且某C。从而某A，某B-C，故某A-(B-C)。从而(A-B)-CA-(B-C) 15、P(A)P(B)P(AB)（P(S)表示S的幂集） 证明： SP(A)P(B)，有SP(A)或SP(B)，所以SA或SB。从而SAB，故SP(AB)。即P(A)P(B)P(AB) 16、P(A)P(B)=P(AB)（P(S)表示S的幂集） 证明： SP(A)P(B)，有SP(A)且SP(B)，所以SA且SB。从而SAB，故SP(AB)。即P(A)P(B)P(AB)。 SP(AB)，有SAB，所以SA且SB。 从而SP(A)且SP(B)，故SP(A)P(B)。即P(AB)P(A)P(B)。故P(AB)=P(A)P(B) 17、（A-B）B=（AB）-B当且仅当B= 证明： （AB）-B=（A）当B=时，因为（A-B）B=（A-）=A，-=A，所以（A-B）B=（AB）-B。 用反证法证明。假设B，则存在bB。因为bB且bAB，所以b（AB）-B。而显然b（A-B）B。故这与已知（A-B）B=（AB）-B矛盾。 35五、证明或解答： （数理逻辑、集合论与二元关系部分） 1、设个体域是自然数，将下列各式翻译成自然语言： (1)某y（某y=1）;(2)某y(某y=1);(3)某y(某y=0);(4)某y（某y=0）;(5)某y(某y=某);(6)某y（某y=某）;(7)某yz(某-y=z) 答： （1）存在自然数某，对任意自然数y满足某y=1;（2）对每个自然数某，存在自然数y满足某y=1;（3）对每个自然数某，存在自然数y满足某y=0;（4）存在自然数某，对任意自然数y满足某y=1;（5）对每个自然数某，存在自然数y满足某y=某;（6）存在自然数某，对任意自然数y满足某y=某;（7）对任意自然数某,y，存在自然数z满足某-y=z。 2、设A(某,y,z):某+y=z,M（某,y,z）:某y=z,L(某,y):某y，为自然数。将下列命题符号化：（1）没有小于0的自然数;（2）某 36个体域（3）若某yz;（4）存在某，对任意y使得某y=y;（5）对任意某，存在y使某+y=某。 答： （1）某（G(某,0)M（0,0,某））或某L(某,0)（2）某yz((L(某,y)L(y,z))L(某,z))（3）某y((L(某,y)z(L(z,0)G(某z,yz)))（4）某yM（某,y,y）（5）某yA(某,y,某) 3、列出下列二元关系的所有元素： （1）A={0,1,2}，B={0,2,4}，R={|某,yAB}; （2）A={1,2,3,4,5}，B={1,2}，R={|2某+y4且某A且yB};（3）A={1,2,3}，B={-3,-2,-1,0,1}，R={||某|=|y|且某A且yB}; 解： (1)R={<0,0>,<0,2>,<2,0>,<2,2>}(2)R={<1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>};(3)R={<1,1>,<1,-1>,<2,-2>,<3,-3>}。 4、对任意集合A,B，证明：若AA=BB，则B=B。 证明： 若B=，则BB=从而AA=故A=从而B=A。 若B，则BB从而AA 3对某B,BB。因为AA=BB，则AA。从而某A。故BA。同理可证，AB。故B=A。 5、对任意集合A,B，证明：若A，AB=AC，则B=C。 证明： 若B=，则AB=从而AC=因为A，所以C=即B=C。 若B，则AB从而AC 对某B,因为A，所以存在yA,使AB。因为AB=AC，则AC。从而某C。故BC。 同理可证，CB。故B=C。 6、设A={a,b},B={c}。求下列集合： (1)A{0,1}B；(2)B2A；(3)(AB)2;(4)P(A)A。 解： （1）A{0,1}B={,,,};（2）B2A={,}; （3）(AB)2={,,,};（4）P(A)A={,a>,,b>,,,, ,,}。 7、设全集U={a,b,c,d,e},A={a,d},B={a,b,c},C={b,d}。求下列各集合： 3（1）ABC；（2）ABC；（3）(AB)C;（4）P(A)-P(B);（5）(A-B)(B-C);（6）(AB)C; 解： (1)ABC={a};(2)ABC={a,b,c,d,e};(3)（AB）C={b,d};(4)P(A)-P(B)={{d},{a,d}};(5)(A-B)(B-C)={d,c,a};(6)(AB)C={b,d}。 8、设A,B,C是任意集合，证明或否定下列断言：（1）若AB，且BC，则AC；（2）若AB，且BC，则AC;（3）若AB，且BC，则AC；（4）若AB，且BC，则AC； 证明： (1)成立。 对某A,因为AB，所以某B。又因为BC，所以某C。即AC。(2)不成立。反例如下：A={a},B={a,b},C={a,b,c}。虽然AB，且BC，但AC。 (3)不成立。反例如下：A={a},B={{a},b},C={{{a},b},c}。虽然AB，且BC，但AC。 (4)成立。因为AB,且BC，所以AC。 9、A上的任一良序关系一定是A上的全序关系。 证明： 3a，b∈A，则{a,b}是A的一个非空子集。≤是A上的良序关系，{a,b}有最小元。若最小元为a，则a≤b；否则b≤a。从而≤为A上的的全序关系。 10、若R和S都是非空集A上的等价关系，则RS是A上的等价关系。 证明： a∈A，因为R和S都是A上的等价关系，所以某R某且某S某。故某RS某。从而RS是自反的。 a,b∈A，aRSb，即aRb且aSb。因为R和S都是A上的等价关系，所以bRa且bSa。故bRSa。从而RS是对称的。 a,b,c∈A，aRSb且bRSc，即aRb，aSb,bRc且bSc。因为R和S都是A上的等价关系，所以aRc且aSc。故aRSc。从而RS是传递的。 故RS是A上的等价关系。 11、设RA某A，则R自反IAR。 证明： 某A，R是自反的，某R某。即R，故IAR。某A，IAR，R。即某R某，故R是自反的。 12、设A是集合，RA某A，则R是对称的R＝R－1。 证明： R，R是对称的，yR某。即R，故R_1从而RR-1。 R是对称的，yR某。反之R-1,即R即R，R_1R。 故R=R-1。 某，yA，若R，即R-1。R=R-1，R。即yR某，4故R是对称的。 13、设A,B,C和D均是集合，RA某B，SB某C，TC某D，则(1)R(ST)=(RS)(RT)；(2)R(ST)(RS)(RT)； 证明： （1）R(ST)，则由合成关系的定义知yB，使得R且ST。从而R且S或R且T，即RS或RT。故（RS）（RT）从而R(ST)（RS）（RT）。 同理可证（RS）（RT）R(ST)。故R(ST)=（RS）（RT）。 (2)R(ST)，则由合成关系的定义知yB，使得R且ST。从而R且S且T，即RS且 （RT）（RT）RT。故（RS）从而R(ST)(RS）。 14、设〈A,≤〉为偏序集，BA，若B有最大(小)元、上(下)确界，则它们是惟一的。 证明： 设a,b都是B的最大元，则由最大元的定义ab，ba。是A上的偏序关 系，a=b。即B如果有最大元则它是惟一的。 15、设A={1,2,3},写出下列图示关系的关系矩阵，并讨论它们的性质：11141232323解： 000（1）R={<2,1>,<3,1>,<2,3>};MR=101;它是反自反的、反对称的、传递的； 100011（2）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,1>,<2,3>,<3,2>};MR=101;它是反自反的、110对称的； 011（3）R={<1,2>,<2,1>,<1,3>,<3,3>};MR=100;它既不是自反的、反自反的、001也不是对称的、反对称的、传递的。 16、设A={1,2,…,10}。下列哪个是A的划分？若是划分，则它们诱导的等价关系是什么？ （1）B={{1,3,6},{2,8,10},{4,5,7}};（2）C={{1,5,7},{2,4,8,9},{3,5,6,10}};（3）D={{1,2,7},{3,5,10},{4,6,8},{9}} 解： （1）和（2）都不是A的划分。（3）是A的划分。其诱导的等价关系是 IA{<1,2>,<2,1>,<1,7>,<7,1>,<2,7>,<7,2>,<3,5>,<5,3>,<3,10>,<10,3>,<10,5>,<5,10>,<4,6>,<6,4>,<4,8>,<8,4>,<6,8>,<8,6>}。 4217、R是A={1,2,3,4,5,6}上的等价关系，R=IA{<1,5>,<5,1>,<2,4>,<4,2>,<3,6>,<6,3>}求R诱导的划分。 解： R诱导的划分为{{1,5},{2,4},{3,6}}。 18、A上的偏序关系的Hae图如下。 （1）下列哪些关系式成立：ab,ba,ce,ef,df,cf； （2）分别求出下列集合关于的极大（小）元、最大（小）元、上（下） 界及上（下）确界（若存在的话）：(a)A;(b){b,d};(c){b,e};(d){b,d,e}aefbd c 解： (1)ba,ce,df,cf成立； (2)(a)的极大元为a,e,f,极小元为c;无最大元，c是最小元； 无上界，下界是c;无上确界，下确界是c。(b)的极大元为b,d,极小元为b,d;无最大元和最小元； 43上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。(c)的极大元为e,极小元为b;最大元是e，b是最小元； 上界是e，下界是b;上确界是e，下确界是b。(d)的极大元为e,极小元为b,d;最大元是e，无最小元； 上界是e，下界是c;上确界是e，下确界是c。 （半群与群部分） 19、求循环群C12={e,a,a2,…,a11}中H={e,a4,a8}的所有右陪集。 解： 因为|C12|=12，|H|=3，所以H的不同右陪集有4个：H，{a,a5,a9},{a2,a6,a10},{a3,a7,a11}。 20、求下列置换的运算： 解： 123412341234（1）24314321=1342123456123456123456（2）452631=452631452631123456123456123456=452631635124=1234563221、试求出8阶循环群的所有生成元和所有子群。 解： 设G是8阶循环群，a是它的生成元。则G={e,a,a2,..,a7}。由于ak是G的生成元的充分必要条件是k与8互素，故a,a3,a5,a7是G的所有生成元。 44因为循环群的子群也是循环群，且子群的阶数是G的阶数的因子，故G的子群只能是1阶的、2阶的、4阶的或8阶的。因为 |e|=1,|a|=|a3|=|a5|=8,|a2|=|a6|=8,|a4|=2,且G的子群的生成元是该子群中a的最小正幂，故G的所有子群除两个平凡子群外，还有{e,a4},{e,a2,a4,a6}。 22、I上的二元运算某定义为：a,bI，a某b=a+b-2。试问是循环群吗？ 解： 是循环群。因为是无限阶的循环群，则它只有两个生成元。1和3是它的两个生成元。因为an=na-2(n-1)，故1n=n-2(n-1)=2-n。从而对任一个kI,k=2-(2-k)=12-k，故1是的生成元。又因为1和3关于某互为逆元，故3也是的生成元。 23、设是群，aG。令H={某G|a·某=某·a}。试证：H是G的子群。 证明： c，dH，则对c，dHK，c·a=a·c,d·a=a·d。故(c·d)·a=c·(d·a)=c·(a·d)=(c·a)·d=(a·c)·d=a·(c·d)。从而c·dH。 由于c·a=a·c,且·满足消去律，所以a·c-1=c-1·a。故c-1H。从而H是G的子群。 24、证明：偶数阶群中阶为2的元素的个数一定是奇数。 证明： 设是偶数阶群，则由于群的元素中阶为1的只有一个单位元，阶大于2的元素是偶数个，剩下的元素中都是阶为2的元素。故偶数阶群中阶为2的元素一定是奇数个。 45 数学知二求二六个公式 本文列举了完全平方公式知二求二的七中类型有助于初学者对完全平方公式的运用和该类型问题的理解。 完全平方公式知二求二专项突破 完全平方公式是初中数学多项式乘法运算中的重要公式，它可以简化某些特殊形式的多项式与多项式的乘法运算，同时也是中考题中必考的乘法公式。 何为知二求二︰我们把完全平方公式进行拆解，可以得到ab-,ab+，ab和22ab+这四个代数式，只要知道其中任何两个代数式的值，就可以求出另外两个代数式的值，这我们称之为知二求二。下面我就结合具体例题，把知二求二的各种情况进行总结，阅读这篇文章之后，希望能解开你的困惑!完全平方公式:0)2222abaabb+=++()2222abaabb-=-+常用的公式:()2222ababab+=+-()2222ababab+=-+()2221()2ababab[=+--」 (0)2221()2ababab=+-+l」()()2214ababab=+--ll接下来我将要结合的具体例题，来说明知二求二存在的题型。在学习完全部类型之后，还有一些练习题，帮助大家融会贯通，灵活运用。 类型一:已知:225,2abab+==，求,abab+-的值。解:∵()22225229abaabb+=++二+×=..3ab+=+∵()22225221abaabb-=-+=-×=.".1ab-=+注意开方时带正负号。篇二：|a|=2,a=?
篇三：|a|=2,a=?
篇四：|a|=2,a=?
2023年全国统一高考物理试卷（甲卷）参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每题6分，共48分。在每小题给出的四个选项中，第1～5题只有一项符合题目要求，第6～8题有多项符合题目要求。全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。1．一同学将铅球水平推出，不计空气阻力和转动的影响，铅球在平抛运动过程中（ ）A．机械能一直增加C．速度大小保持不变【答案】B【解答】解：A、铅球在平抛运动过程中，仅受重力，机械能守桓，故A错误；B、铅球在平抛运动过程中加速度为重力加速度，保持不变，故B正确；CD、运动过程中减少的重力势能转化为动能，铅球的动能越来越大，速度也越来越大，故CD错误。故选：B。2．在下列两个核反应方程中X+N→Y+OB．加速度保持不变D．被推出后瞬间动能最大Y+Li→2XX和Y代表两种不同的原子核，以Z和A分别表示X的电荷数和质量数，则（ ）A．Z＝1，A＝1【答案】D【解答】解：由题中的两个核反应方程X+N→Y+OB．Z＝1，A＝2C．Z＝2，A＝3D．Z＝2，A＝4Y+Li→2X两方程可简化为：Li+N→X+O由质量数和电荷数守恒可得：14+7＝A+177+3＝Z+8解得：Z＝2，A＝4，故D正确，ABC错误。
故选：D。3．一小车沿直线运动，从t＝0开始由静止匀加速至t＝t1时刻，此后做匀减速运动，到t＝t2时刻速度降为零。在下列小车位移x与时间t的关系曲线中，可能正确的是（ ）A．B．C．【答案】DD．【解答】解：AC、小车沿直线运动，先匀加速后匀减速，从0～t2位移一直增加，速度一直沿正方向，在x﹣t图像上斜率不等于负值，故AC错误；BD、小车在t2时刻速度为零，x﹣t图像上斜率为零，故B错误，D正确。故选：D。4．一质点做匀速圆周运动，若其所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比，运动周期与轨道半径成反比，则n等于（ ）A．1【答案】C【解答】解：根据题意质点做匀速圆周运动，所受合力的大小与轨道半径的n次方成正比：Fn∝rn运动周期与轨道半径成反比可知：
为常数）B．2C．3D．4解得：ABD错误。故选：C。，其中
均为常数，r的指数为3，故n＝3，故C正确，5．在一些电子显示设备中，让阴极发射的电子束通过适当的非匀强电场，可以使发散的电子束聚集。下列4幅图中带箭头的实线表示电场线，如果用虚线表示电子可能的运动轨迹，其中正确的是（ ）
A．B．C．D．【答案】A【解答】解：电子在电场中只受电场力，电场力沿电场线的切线方向，与电场线方向相反，指向电子运动轨迹的凹侧。B：选项中电子在图1E处受力指向凸测，故B错误；C：选项中电子在图2F处受力指向凸测，故C错误；D：选项中电子在图3G处受力指向凸测，故D错误；A：选项电子各处的运动轨迹和受的电场力相符合，故A正确。故选：A。（多选）6．用水平拉力使质量分别为m甲、m乙的甲、乙两物体在水平桌面上由静止开始沿直线运动，两物体与桌面间的动摩擦因数分别为μ甲和μ乙。甲、乙两物体运动后，所受拉力F与其加速度a的关系图线如图所示。由图可知（ ）
A．m甲＜m乙【答案】BCB．m甲＞m乙C．μ甲＜μ乙D．μ甲＞μ乙【解答】解：对甲、乙两物体，由牛顿第二定律有F﹣μmg＝ma则F＝ma+μmg对照已知图像，根据数形结合思想，可知图像斜率k＝m图像截距b＝μmg由于k甲＞k乙，故m甲＞m乙由于μ甲m甲g＝μ乙m乙g，故μ甲＜μ乙故AD错误，BC正确。故选：BC。（多选）7．光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P的横截面是以O为圆心的圆，如图所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（ ）A．粒子的运动轨迹可能通过圆心OB．最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出C．射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短D．每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线【答案】BD
【解答】解：ABC、粒子从P点沿磁场半径方向进入磁场区域，以O1为圆心做圆周运动，从A点离开圆筒，轨迹如图所示由几何关系可知△PO1O≌△AO1O，由于∠OPO1＝90°，所以∠OAO1＝90°，则粒子一定会沿半径方向离开磁场区域，与筒壁碰撞后依然沿半径方向进入磁场区域，所以粒子不可能通过圆心O；由图可知粒子至少与筒壁碰撞两次（分别与A和B碰撞），然后从小孔P射出；由于最终粒子是从P点射出，增大速度碰撞次数会可能增多，粒子运动时间不一定减少，故B正确，AC错误。D、由前面分析可知粒子沿半径圆筒半径方向射向圆筒，碰撞后沿半径方向返回圆筒，故D正确。故选：BD。（多选）8．一有机玻璃管竖直放在水平地面上，管上有漆包线绕成的线圈，线圈的两端与电流传感器相连，线圈在玻璃管上部的5匝均匀分布，下部的3匝也均匀分布，下部相邻两匝间的距离大于上部相邻两匝间的距离。如图（a）所示。现让一个很小的强磁体在玻璃管内沿轴线从上端口由静止下落，电流传感器测得线圈中电流I随时间t的变化如图（b）所示。则（ ）A．小磁体在玻璃管内下降速度越来越快B．下落过程中，小磁体的N极、S极上下顺倒了8次C．下落过程中，小磁体受到的电磁阻力始终保持不变
D．与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大【答案】AD【解答】解：A、从图（b）可知，线圈中电流的最大值随着时间的增加而越来越大，由闭合电路欧姆定律I＝（E为单匝线圈产生的瞬时电动势、R为电路总电阻）可知，线圈中感应电动势的最大值Emax越来越大，根据法拉第电磁感应定律E＝可知，S不变，则＝越来越大，可知小磁体在玻璃管内下降速度越来越快，故A正确；B、从图（b）可知，电流的方向反复改变了8次，这是由于小磁体下落通过每一匝线圈过程中，对单匝线圈来说，其磁通量都是先增加后减小，由楞次定律可知，每一个单匝线圈中感应电动势、感应电流的方向也会由正方向变到负方向，而不是小磁体的N、S极上下颠倒，故B错误；C、从图（b）可知，小磁体下落过程中，线圈中的电流，大小在变，方向会变，最大值也在变，所以线圈受到的安培力会一直在变、且最大值逐渐增大，由牛顿第三定律可知，线圈给小磁体的作用力也一直在变、且最大值逐渐增大，即小磁体受到的电磁阻力一直在变，故C错误；D、从图（b）可知，小磁体通过线圈下部过程中线圈中电流最大值大于小磁体通过线圈上部过程中线圈中电流最大值，由闭合电路欧姆定律I＝可知，小磁体通过线圈下部过程中线圈中产生的感应电动势最大值要相对更大，根据法拉第电磁感应定律E＝可知，与上部相比，小磁体通过线圈下部的过程中，磁通量变化率的最大值更大，故D正确。故选：AD。二、非选择题：共62分。第9～12题为必考题，每个试题考生都必须作答。第13～16题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共47分。9．（5分）某同学用伏安法测绘一额定电压为6V、额定功率为3W的小灯泡的伏安特性曲线，实验所用电压表内阻约为6kΩ电流表内阻约为1.5Ω。实验中有图（a）和（b）两个电路图供选择。
（1）实验中得到的电流I和电压U的关系曲线如图（c）所示，该同学选择的电路图是图（a ）（填“a”或“b”）。（2）若选择另一个电路图进行实验，在图（c）上用实线画出实验中应得到的关系曲线的示意图。【答案】（1）a；（2）见解析。【解答】解：（1）由R＝计算出小灯泡正常发光时的电阻：R＝12ΩR2＝144Ω2＜RVRA＝6×103×1.5Ω2＝9×103Ω2即R＜，故采用电流表外接法，即选择a电路图。（2）若选用图（b）进行实验，则有U＝U灯+IRA，则分别代入电流100mA、200mA、300mA、400mA、500mA，可知对应的电压应分别增加0.15V、0.3V、0.45V、0.6V、0.75V，当小灯泡正常发光时，电流表示数为0.5A，而电压表示数要为6.75V，故描点连线得到的关系示意图应如下图实线所示。故答案为：（1）a；（2）见解析。10．（10分）某同学利用如图（a）所示的实验装置探究物体做直线运动时平均速度与时间的关系。让小车左端和纸带相连。右端用细绳跨过定滑轮和钩码相连。钩码下落，带动小车运动，打点计时器打出纸带。某次实验得到的纸带和相关数据如图（b）所示。
（1）已知打出图（b）中相邻两个计数点的时间间隔均为0.1s。以打出A点时小车位置为初始位置，将打出B、C、D、E、F各点时小车的位移Δx填到表中，小车发生相应位移所用时间和平均速度分别为Δt和。表中ΔxAD＝ 24.0cm，位移区间Δx（cm）（cm/s）AB6.6066.0AC14.6073.0ADΔxADADAD＝ 80.cm/s。AE34.9087.3AF47.3094.6（2）根据表中数据得到小车平均速度随时间Δt的变化关系，如图（c）所示。在答题卡上的图中补全实验点。（3）从实验结果可知，小车运动的﹣Δt图线可视为一条直线，此直线用方程＝kΔt+b表示，其中k＝ 70.cm/s2，b＝ 59.cm/s。（结果均保留3位有效数字）（4）根据（3）中的直线方程可以判定小车做匀加速直线运动，得到打出A点时小车速度大小vA＝ b ，小车的加速度大小a＝ 2k 。（结果用字母k、b表示）【答案】（1）24.00，80.0；（2）见解析；（3）70.0，59.0；（4）b，2k。【解答】解：（1）由图（b）得，ΔxAD＝xAB+xBC+xCD＝6.60cm+8.00cm+9.40cm＝24.00cmAD段的平均速度（2）如图AD＝＝cm/s＝80.0cm/s
（3）在﹣Δt图像中，将点迹用直线连接，如图：由图像得：k＝b＝59.0cm/s＝cm/s2＝70.0cm/s2（4）小车做匀加速直线运动，由匀变速直线运动位移—时间公式得：x＝vAt+整理得：即：则打出A点时小车速度大小vA＝b小车的加速度大小为a＝2k故答案为：（1）24.00，80.0；（2）见解析；（3）70.0，59.0；（4）b，2k。11．（12分）如图，光滑水平桌面上有一轻质弹簧，其一端固定在墙上。用质量为m的小球压弹簧的另一端，使弹簧的弹性势能为EP。释放后，小球在弹簧作用下从静止开始在桌面上运动，与弹簧分离后，从桌面水平飞出。小球与水平地面碰撞后瞬间，其平行于地，面的速度分量与碰撞前瞬间相等；垂直于地面的速度分量大小变为碰撞前瞬间的。小球与地面碰撞后，弹起的最大高度为h。重力加速度大小为g，忽略空气阻力。求：（1）小球离开桌面时的速度大小；（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离。【答案】（1）小球离开桌面时的速度大小为；（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为。【解答】解：（1）设小球离开桌面时速度大小为v0，对小球和弹簧组成的系统，由机械能守恒定律得：EP＝解得：v0＝（2）设小球从离开桌面到第一次落地所用时间为t，则落地点距飞出点的水平距离x＝v0t落地瞬间竖直分速度vy＝gt与地面撞击后瞬间，竖直速度大小为vy′＝vy＝gt小球竖直方向做竖直上抛运动，有：0﹣vy′2＝﹣2gh联立解得：x＝答：（1）小球离开桌面时的速度大小为；（2）小球第一次落地点距桌面上其飞出点的水平距离为。12．（20分）如图，水平桌面上固定一光滑U形金属导轨，其平行部分的间距为l，导轨的最右端与桌子右边缘对齐，导轨的电阻忽略不计。导轨所在区域有方向竖直向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B。一质量为m、电阻为R、长度也为l的金属棒P静止在导轨上。导轨上质量为3m的绝缘棒Q位于P的左侧，以大小为v0的速度向P运动并与P发生弹性碰撞，碰撞时间很短。碰撞一次后，P和Q先后从导轨的最右端滑出导轨，并落
在地面上同一地点。P在导轨上运动时，两端与导轨接触良好，P与Q始终平行。不计空气阻力。求（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小；（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量；（3）与P碰撞后，绝缘棒Q在导轨上运动的时间。【答案】（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小为v0；（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为（3）与P碰撞后，绝续棒Q在导轨上运动的时间为；。【解答】解：（1）Q与P发生弹性碰撞，以Q初速度方向为正方向，由动量守恒定律得：3mv0＝3mvQ+mvP由机械能守恒定律得：?3联立解得：vQ＝v0vP＝v0金属棒P切割磁感线产生感应电流，根据左手定则，金属棒P受到与运动方向相反的安培力，且安培力F安＝BIl＝则金属棒P做加速度减小的减速运动；绝缘棒Q切割磁感线不产生感应电流，不受安培力的作用，绝缘棒做匀速直线运动；P和Q离开导轨后做平抛运动，由于落在地面上同一地点，则两棒做平抛运动的初速度相同，即金属棒P滑出导轨时的速度大小vP1＝vQ＝v0（2）对P，从碰撞后到离开导轨过程中，由能量守恒定律得：解得：Q＝（3）以P运动方向为正方向，对P，从碰撞后到离开导轨过程中，由动量定理得：﹣＝Q+＝?3+
t＝mvP1﹣mvP＝Bl＝金属棒P的位移x＝t联立解得：x＝Q做匀速直线运动，时间为t＝＝答：（1）金属棒P滑出导轨时的速度大小为v0；（2）金属棒P在导轨上运动过程中产生的热量为（3）与P碰撞后，绝续棒Q在导轨上运动的时间为；。（二）选考题：共15分。请考生从2道物理题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[物理—选修3-3]（15分）（多选）13．（5分）在一汽缸中用活塞封闭着一定量的理想气体，发生下列缓慢变化过程，气体一定与外界有热量交换的过程是（ ）A．气体的体积不变，温度升高B．气体的体积减小，温度降低C．气体的体积减小，温度升高D．气体的体积增大，温度不变E．气体的体积增大，温度降低【答案】ABD【解答】解：根据热力学第一定律得：ΔU＝Q+WA、气体的体积不变，外界对气体做功W为零，温度升高，气体的内能增大，内能的变化量ΔU为正值，由热力学第一定律得，Q为正值，气体从外界吸热，故A正确；B、气体的体积减小，外界对气体做功，W为正值，温度降低，气体的内能减小，内能的变化量ΔU为负值，由热力学第一定律得，Q为负值，气体向外界放热，故B正确；C、气体的体积减小，外界对气体做功，W为正值，温度升高，气体的内能增大，内能的变化量ΔU为正值，由热力学第一定律得，Q可能为零，即气体可能与外界没有热交换，故C错误；D、气体的体积增大，气体对外界做功，W为负值，温度不变，气体的内能不变，内能
的变化量ΔU为0，由热力学第一定律得，Q为正值，气体从外界吸热，故D正确；E、气体的体积增大，气体对外界做功，W为负值，温度降低，气体的内能减小，内能的变化量ΔU为负值，由热力学第一定律得，Q可能为零，即气体可能与外界没有热交换，故E错误；故选：ABD。14．一高压舱内气体的压强为1.2个大气压，温度为17℃，密度为1.46kg/m3。（i）升高气体温度并释放出舱内部分气体以保持压强不变，求气体温度升至27℃时内气体的密度；（ii）保持温度27℃不变，再释放出舱内部分气体使舱内压强降至1.0个大气压，求舱内气体的密度。【答案】（i）升高气体温度并释放出舱内部分气体以保持压强不变，气体温度升至27℃时内气体的密度为1.41kg/m3；（ii）保持温度27℃不变，再释放出舱内部分气体使舱内压强降至1.0个大气压，舱内气体的密度为1.175kg/m3。【解答】解：（i）以释放舱内部分气体后舱内气体为研究对象，设气体的质量为m，气体初状态：压强p1＝1.2p0，体积V1，温度T1＝（17+273）K＝290K末状态：压强p2＝1.2p0，体积V2，温度T2＝（27+273）K＝300K由盖—吕萨克定理得：＝代入数据解得：V1＝V2气体初状态的密度为ρ1＝末状态的密度为ρ2＝代入数据联立解得：ρ2＝1.41kg/m3（ii）以释放部分气体后舱内气体为研究对象，设气体的质量为m′，气体初状态：压强p3＝1.2p0，体积V3，温度T2＝300K末状态：压强p4＝p0，体积V4＝V2，温度T2＝300K由玻意耳定律得：p3V3＝p4V4解得：V3＝V2气体初状态的密度为ρ3＝末状态的密度为ρ4＝＝ρ2代入数据联立解得：ρ4＝1.175kg/m3答：（i）升高气体温度并释放出舱内部分气体以保持压强不变，气体温度升至27℃时内气体的密度为1.41kg/m3；（ii）保持温度27℃不变，再释放出舱内部分气体使舱内压强降至1.0个大气压，舱内气体的密度为1.175kg/m3。[物理—选修3-4]（15分）（多选）15．等腰三角形△abc为一棱镜的横截面，ab＝ac；一平行于bc边的细光束从ab边射入棱镜，在bc边反射后从ac边射出，出射光分成了不同颜色的两束，甲光的出射点在乙光的下方，如图所示。不考虑多次反射。下列说法正确的是（ ）A．甲光的波长比乙光的长B．甲光的频率比乙光的高C．在棱镜中的传播速度，甲光比乙光的大D．该棱镜对甲光的折射率大于对乙光的折射率E．在棱镜内bc边反射时的入射角，甲光比乙光的大【答案】ACE【解答】解：ABCD、作出光路图如图所示细光束经ab边折射后的折射角θ甲＞θ乙，根据几何关系可知光在bc边上的入射角甲光比乙光的大，根据，细光束在ab边折射时，两种光的入射角相同，折射角θ甲＞θ乙，所以
n甲＜n乙，乙光的折射率大，则频率大，波长小；由n＝可知乙光传播速度小，故AC正确，BD错误。
E、由题图可知从ac边射出的光线平行，即甲、乙两束光折射角相同，由n甲＜n乙，结合光路可逆，则有在棱镜内bc边反射时的入射角，甲光比乙光的大，故E正确。故选：ACE。16．分别沿x轴正向和负向传播的两列简谐横波P、Q的振动方向相同，振幅均为5cm，波长均为8m，波速均为4m/s。t＝0时刻，P波刚好传播到坐标原点，该处的质点将自平衡位置向下振动；Q波刚好传到x＝10m处，该处的质点将自平衡位置向上振动。经过一段时间后，两列波相遇。（i）在给出的坐标图上分别画出P、Q两列波在t＝2.5s时刻的波形图（P波用虚线，Q波用实线）；（ii）求出图示范围内的介质中，因两列波干涉而振动振幅最大和振幅最小的平衡位置。【答案】（i）见解析；（ii）两列波干涉而振动振幅最大的平衡位置为3m、7m，振幅最小的平衡位置为1m、5m、9m。【解答】解：（i）t＝2.5s时，两波传播的距离为ΔxP＝ΔxQ＝vt＝4×2.5m＝10m即P波刚好传播到x＝10m处，且x＝10m处质点自平衡位置向下振动，Q波刚好传播到x＝0处，且x＝0处质点自平衡位置向上振动；由题意可知，两波的振幅均为5cm，波长均为8m，由同侧法画波形图，如图：（ii）两列波振动波速相同，频率相同，振动方向相反，则振幅最小点的平衡位置到x＝0和x＝10m处的距离差为波长的整数倍，则有：|10﹣x﹣（x﹣0）|＝nλ（n＝0，1，2…）代入数据解得，图示范围内振幅最小点的平衡位置为x＝1m、5m、9m振幅最大点的平衡位置到x＝0和x＝10m处的距离差为半波长的奇数倍，则有：|10﹣x﹣
（x﹣0）|＝n?λ（n＝1，3，5…）代入数据解得，图示范围内振幅最大点的平衡位置为x＝3m、7m答：（i）见解析；（ii）两列波干涉而振动振幅最大的平衡位置为3m、7m，振幅最小的平衡位置为1m、5m、9m。
篇五：|a|=2,a=?
2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》
单元综合达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则tanA的值为（）
A．
B．
C．
D．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（）
A．6B．6C．12D．3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（）
A．
B．
C．
D．3，则锐角α的度数为（）
C．20°
D．10°
4．王明同学遇到了这样一道题，A．40°
B．30°
5．已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（）
A．
B．
C．
D．66．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（）
A．
B．
C．
D．，连接AC，若，7．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使则tan∠CAD的值（）
A．
B．
C．
D．
海里，货轮B沿北偏东15°8．一艘货轮B在灯塔A的南偏西60°方向，距离A点航行一段距离后到达C地，此时AC距离海里，判断C在A的北偏西多少度（）
A．60°
B．30°
C．15°
D．45°
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，则BC＝
．
10．在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是
度．
11．如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝
．
12．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4．若∠B＝45°，则AB＝；
13．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，且AD＝2BD，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，那么tan∠BAE的值为
．
14．如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝20m，∠PHB＝∠AFB＝90°，若斜面AB坡度为1：（1）∠PBA＝；
（2）HF的长为
m．
．
15．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度为
m．
16．一大门的栏杆如图所示，杆BA垂直于地面AE于A，杆CD平行于地面AE，已知AB＝1米，BC＝2.4米，∠BCD＝150°，则此时杆CD到地面AE的距离是
米．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．
18．计算：﹣2cos30°+6sin245°．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接BE，若AB＝2，tanC＝，求BE的长．
21．如图，某小区的物业楼上悬挂一块高为3m的广告牌，即CD＝3m．小奇和小妙要测量
广告牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为22°，小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为45°，AB＝9m，请根据相关测量信息，求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
22．如图，某学校老师组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量．已知信号柱直立在地面上，学生在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，沿斜坡从点C走到点D，CD＝12米，坡比为果保留根号）
：1，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，求信号柱AB的高度．（结
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，∴tanA＝故选：D．
2．解：∵点A的坐标为（0，3），∴AO＝3，∵tan∠ABO＝∴∴＝＝，，，，＝．
∴BO＝∵△AOB是直角三角形，∴AB＝＝＝＝2，∵菱形的四条边相等，∴菱形ABCD的周长为2故选：D．
3．解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，∵OP∥AB，∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，∴△OCP∽△BCA，∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，∵∠AOC＝∠AQP＝90°，∴CO∥PQ，∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，∵P（1，1），∴PQ＝OQ＝1，∴AO＝2，∴tan∠OAP＝＝＝．
×4＝8．
故选：C．
4．解：∵tan30°＝∴∵tan30°＝1，tan（α+10°）＝1，，∴α+10°＝30°，∴α＝20°，故选：C．
5．解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，∴AB＝2AE，AE＝ED，∵BC＝6，AD是△ABC的中线，∴CD＝BD＝3，设AE＝DE＝x，则AB＝2x，∴CE＝x﹣3，BE＝x+3，在Rt△AEB中，根据勾股定理得，（2x）2＝x2+（x+3）2，∴2x2﹣6x＝9，在Rt△AEC中，根据勾股定理得，AC2＝x2+（x﹣3）2，∴AC2＝2x2﹣6x+9，∴AC2＝18，∴AC＝3故选：B．
（负值舍去）．
6．解：如图，连接AC，在Rt△BEC中，BC＝∵AD⊥BC，∴即解得AD＝＝8，，，，＝5，在Rt△ADB中，BD＝∴sin∠BAD＝故选：C．
．
7．解：过点C作CE垂直AD的延长线于E，在Rt△BAD中，∴，，设AB＝3a，AD＝4a，则BD＝∵CE⊥AE，BA⊥AD，∴△BAD∽△CED，＝5a，∴，∵DC＝BD，∴DE＝AD＝2a，CE＝AB＝a，∴在Rt△AEC中，tan∠CAD＝故选：B．
8．解：如图，过A作AD⊥BC于D．
由题意可得∠GAB＝60°，AB＝30∵BE∥FG，∴∠EBA＝∠GAB＝60°，＝．
海里，∠EBC＝15°，AC＝20海里．
∴∠ABD＝∠EBA﹣∠EBC＝60°﹣15°＝45°，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∴AD＝BD＝AB＝30，∠DAB＝45°，∴∠DAH＝∠DAB﹣∠HAB＝45°﹣（90°﹣60°）＝15°．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，∴CD＝∴tan∠CAD＝＝＝＝＝10，，∴∠CAD＝30°，∴∠FAC＝90°﹣∠CAD﹣∠DAH＝90°﹣30°﹣15°＝45°，∴C在A的北偏西45度．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，∴BC＝AC?sinA＝200×0.6＝120，故答案为：120．
10．解：∵∴sinA﹣则sinA＝＝0，cosB﹣，cosB＝，＝0，，∴∠A＝60°，∠B＝45°，∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，∵AB＝AE，设AB＝a，则AE＝a，BE＝∴AD＝AE+DE＝（+1）a，＝＝﹣1，＝a＝ED，在Rt△ABD中，tan∠BDE＝故答案为：﹣1．
12．解：（1）∵∠BAC＝45°，∠B＝45°，∴∠BAC＝∠B＝45°，∴BC＝AC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝，故答案为：；
13．解：如图，取AD中点G，连接FG，过点F作FH⊥AB于点H，设等边△ABC的边长为12a，则高为6a，∴S△ABC＝×12a×6∵AB＝AC＝12a，∴AD＝8a，AG＝4a，∴S△ACD＝×8a×6a＝36a2，a＝24a2，∵△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，∴S△ACF＝×36a2＝12a2，a2，∴S△ADF＝S△ACD﹣S△ACF＝12∵S△ADF＝×8a×HF，∴×8a×HF＝12∴HF＝3a，a2，∴点F为CD中点，∴FG为△ACD的中位线，∴FG＝6a，在Rt△HFG中，由勾股定理可得：
HG＝即HG＝∴AH＝AG+HG＝7a，∴tan∠BAE＝故答案为：＝．
＝，，＝3a，14．解：（1）如图：
由题意得：
∠CPB＝60°，∠CPA＝15°，PC∥HF，∴∠CPB＝∠PBH＝60°，∵斜面AB坡度为1：∴＝＝，＝，，在Rt△ABF中，tan∠ABF＝∴∠ABF＝30°，∴∠PBA＝180°﹣∠ABF﹣∠PBH＝90°，故答案为：90°；
（2）在Rt△PBH中，PB＝20m，∠PBH＝60°，∴BH＝PB?cos60°＝20×＝10（m），∵∠CPB＝60°，∠CPA＝15°，∴∠APB＝∠CPB﹣∠CPA＝45°，∵∠PBA＝90°，∴AB＝PB?tan45°＝20（m），在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，∴BF＝AB?cos30°＝20×∴HF＝HB+BF＝（10+10故答案为：（10+1015．解：如图：）．
＝10）m，（m），由题意得：
AB＝CE＝21m，∠AEC＝∠AED＝90°，在Rt△AEC中，∠CAE＝30°，∴AE＝＝＝21（m），在Rt△AED中，∠DAE＝45°，∴DE＝AE?tan45°＝21∴DC＝DE+CD＝（21∴乙楼高度为（21故答案为：（21（m），+21）m，+21）m，+21）．
16．解：过点C作CG⊥AE于点G，过点B作BH⊥CG于点H，如图：
∵CG⊥AE，BH⊥CG，∴∠AGC＝90°，∴∠BHC＝90°，∴∠AGC＝∠BHC，∴BH∥AE，∵CD∥AE，∴CD∥BH，∴∠CBH+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝150°，∴∠CBH＝30°，∴CH＝BC，∵BC＝2.4米，∴CH＝1.2米，∵BA⊥AE，CG⊥AE，BH⊥CG
∴四边形ABHG是矩形，∴HG＝AB＝1米，∴CG＝CH+HG＝1.2+12.2（米）．
答：杆CD到地面AE的距离是2.2米．
故答案为：2.2．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：∵sin∠A＝，∴＝，∵AB＝15，∴BC＝9；
∴AC＝∴tan∠B＝＝＝12，＝．
18．解：原式＝﹣2×+6×（）2＝＝﹣﹣1﹣+6×
+3＝2．
19．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，AD＝BC．AE∥FC，∵ED＝BF，∴AD﹣ED＝BC﹣BF，∴AE＝FC，∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵AE∥FC，∴∠EAC＝∠ACF，∴∠EAC＝∠FAC，∴∠ACF＝∠FAC，∴AF＝FC，∵四边形AFCE是平行四边形，∴平行四边形AFCE是菱形，∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，∴EO＝3，∴S△AEO＝AO?EO＝6，S菱形＝4S△AEO＝24．
20．（1）证明：∵点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，∴DF∥AE，DF＝AE，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠A＝90°，∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵∠A＝90°，AB＝2，tanC＝，∴即＝，＝，解得AC＝4，∵点E为AC的中点，∴AE＝2，∴BE＝即BE的长是2＝．
＝2，21．解：延长EF交CH于N，则EF＝AB＝9m，∠CNF＝90°，∵∠CFN＝45°，∴CN＝NF，设DN＝xm，∵CD＝3m，∴NF＝CN＝CD+DN＝（x+3）m，∴EN＝EF+FN＝9+（x+3）＝（x+12）m，在Rt△DNE中，∠DEN＝22°，∴DN＝EN?tan22°≈0.4（x+12），∴0.4（x+12）＝x，解得：x＝8，∴DN＝8m，∴DH＝DN+NH＝8+1.2＝9.2（m），答：点D到地面的距离DH的长约为9.2m．
22．解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，则BF＝DE，DF＝BE，设BC＝x米，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴AB＝BC?tan45°＝x（米），∵斜坡CD的坡比为∴＝，＝，：1，在Rt△DCE中，tan∠DCE＝∴∠DCE＝60°，∴DE＝CD?sin60°＝12×＝6（米），CE＝CD?cos60°＝12×＝6（米），∴DF＝BE＝BC+CE＝（x+6）米，AF＝AB﹣BF＝AB﹣DE＝（x﹣6）米，在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，∴tan30°＝∴x＝12＝＝，+12，+12是原方程的根，+12）米，+12）米．
经检验：x＝12∴AB＝（12∴信号柱AB的高度为（12
篇六：|a|=2,a=?
2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(二)真题及答案
（江南博哥）
1[单选题]当x→0时，x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=()．
A.1B.2C.3D.4正确答案：C参考解析：
因为，若要x-tanx与xk是同阶无穷小，则k=3，故选C项。
2[单选题]y=xsinx+2cosx[x∈(A.(0，2)B.(π，-2)C.(,)D.)]的拐点坐标是()．
正确答案：B参考解析：
y"=sinx+xcosx-2sinx，y”=-xsinx，令y”=0得x=0，x=π，又因为
=-sinx-xcosx，将上述两点代入(π)≠0，所以(π，-2)是拐点。
3[单选题]下列反常积分发散的是()．
A.B.C.D.
正确答案：D参考解析：
对于A项：
4[单选题]已知微分方程依次为()．
A.1，0，1B.1，0，2C.2，1，3D.2，1，4正确答案：D参考解析：
由条件知特征根为λ1=λ2=-1，特征方程为(λ—λ1)(λ—λ2)=λ2+2λ+1=0，故a=2，b=1，而y*=ex为特解，代入得c=4，故选D项。
的通解为y=(C1+C2x)e-x+ex，则a，b，c
5[单选题]已知平面区域，，则I1，I2，I3的大小关系为()。
A.I3＜I2＜I1B.I2＜I1＜I3C.I1＜I2＜I3D.I2＜I3＜I1正确答案：A参考解析：
因为
6[单选题]已知f(x)，g(x)二阶导数存在且在x=a处连续，则f(x)，g(x)相切于a且曲率相等的()。
A.充分非必要条件
B.充分必要条件
C.必要非充分条件
是
D.既非充分又非必要条件
正确答案：A参考解析：
必要性：f(x)，g(x)相切于a，则f(a)=g(a)，f"(a)=g"(a)，f(x)与g(x)相切于点a，且曲率相等，故选A项。
7[单选题]设A是四阶矩阵，A*是A的伴随矩阵，若线性方程Ax=0的基础解系中只有2个向量，则A*的秩是()。
A.0B.1C.2D.3正确答案：A参考解析：
因为Ax=0的基础解系中只有2个向量，所以4-r（A）=2，则r（A）=2．
所以r(A*)=0，故选A项。
8[单选题]设A是三阶实对称矩阵，E是三阶单位矩阵，若A2+A=2E，且|A|=4，则二次型xTAx的规范形为()．
A.B.C.D.正确答案：C参考解析：
设λ为A的特征值，由A2+A=2E得λ2+λ=2，解得λ=-2或1，所以A的特征值是1或-2．
又因为|A|=4，所以A的三个特征值为1，-2，-2，所以二次型xTAx的规范形为9[填空题]
参考解析：
4e2【解析】，故选C项。
10[填空题]在参考解析：
【解析】
对应点处的切线在y轴上的截距为_______．
11[填空题]设函数f(u)可导，参考解析：
【解析】
12[填空题]函数y=lncosx(0≤x<)的弧长为（）。
参考解析：
【解析】
13[填空题]已知函数
参考解析：
【解析】
14[填空题]，Aij表示|A|中(i,j)的代数余子式，则A11-A12=_______．
参考解析：
-4【解析】
15[简答题]
参考解析：
16[简答题]
参考解析：
17[简答题]
(I)求y(x)；
(Ⅱ)设平面区域D={(x，y)|1≤x≤2，0≤y≤y(x)}，求D绕x轴旋转一周所得旋转体的体积。
参考解析：
18[简答题]
参考解析：
(x2+y2)3=y4的极坐标方程为r=sin2θ，由对称性知
19[简答题]设n是正整数，记S-xn为y=esinx(0≤x≤nπ)与x轴所围图形的面积，求求．
参考解析：
Sn，并
设区间[kπ，(k+1)π](k=0，1，2，…，n-1)上所围的面积记为uk，则
20[简答题]已知函数u(x，y)满足，求a，b的值，使得在变换u(x，y)=v(x，下，上述等式可化为函数v(x，y)的不含一阶偏导数的等式。
参考解析：
y)eax+by之
21[简答题]已知函数f(x)在[0，1]上具有二阶导数，且(I)存在ξ∈(0，1)，使得f’(ξ)=0；
(Ⅱ)存在η∈(0，1)，使得f”(η)<-2．
参考解析：
(I)设f(x)在ξ处取得最大值，则由条件f(0)=0,f(1)=1，可知f(ξ)>1，于是0<ξ<1，由费马引理得f"(ξ)=0．
(II)若不存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2，则对任何x∈(0，1)，有f”(x)≥-2，由拉格朗日中值定理得
f(x)-f(ξ)=f"C．(x-ξ)，C介于x与ξ之间，不妨设x<ξ，f"(x)≤-2(x-ξ)，，证明：
于是f(ξ)-f(0)<1，即f(ξ)<1，这与f(ξ)>1相矛盾，故存在η∈(0，1)，使f”(η)<-2．
22[简答题]
参考解析：
由等价的定义可知β1，β2，β3都能由α1，α2，α3线性表示，则有
r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)．
对(α1，α2，α3，β1，β2，β3)作初等行变换可得：
当a=-1时，有r(α1，α2，α3) 当a=1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=2； 当a≠1且a≠-1时，有r(α1，α2，α3)=r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3； 则当a=1或a≠1且a≠-1时，β1，β2，β3可由α1，α2，α3线性表示． 此时，要保证α1，α2，α3可由β1，β2，β3线性表示，对(β1，β2，β3，α1，α2，α3)作初等行变换可得 综上所述，当a≠-1时，向量组α1，α2，α3与向量组β1，β2，β3可相互线性表示． 23[简答题] (I)求x，y； (Ⅱ)求可逆矩阵P使得P-1AP=B． 参考解析： (I)因为相似矩阵有相同的特征值，所以